El concepto de probabilidad es muy frecuente para comunicarnos y entendernos:
- Ej: Las probabilidades de sobrevivir a una operación son del 50%.
- Ej: Un paciente que ingresa en el hospital tiene un 15% de probabilidad de padecer una infección hospitalaria.
- Ej: Durante este invierno, la prevalencia de enfermedades respiratorias es del 13%, 13 de cada 100 individuos padece una enfermedad respiratoria durante el invierno.
Se expresa mediante un número entre 0 y 1 (o en porcentajes). En estos ejemplos, si no existe la certeza de que ocurran los hechos, existe una esperanza dimensionada y razonable, de que el hecho anunciado se vea confirmado. Esta estimación sobre la probabilidad de ocurrencia del evento nos ayuda a tomar decisiones. Cuanto más probable es que ocurra un evento, su medida de ocurrencia estará más próximo a 1 o a 100%, y cuanto menos probable, más se aproxima al cero.
Aunque el concepto es simple, ya que se usa de manera intuitiva, su definición es complicada y tiene tres vertientes:
1.1.Probabilidad Subjetiva o Personalística
La probabilidad mide la confianza que el individuo tiene sobre la certeza de una proposición determinada. Por ejemplo: los epidemiólogos se basan en la experiencia para afirmar que el próximo invierno, la epidemia de gripe tendrá una probabilidad del 0,0018 (180 casos por cada 100.000 habitantes)
Este concepto de las probabilidades ha dado lugar al enfoque de análisis de datos estadísticos llamado “Estadística Bayesiana” .
1.2.Probabilidad Objetiva
PROBALIBILIDAD CLÁSICA O ''A PRIORI'':
Data del siglo XVII (Laplace, Pascal, Fermat), desarrollada para resolver problemas relacionados con los juegos de azar (dados, monedas, ruletas…). Las probabilidades se calculan con un razonamiento abstracto.
Ejemplo: no hay que lanzar el dado para saber que la probabilidad “a priori” de que salga el 6 es de 1/6=0,16
Definición: Si un evento puede ocurrir de N formas, las cuales se excluyen mutuamente y son igualmente probables, y si m de esos eventos poseen una característica E, la probabilidad de ocurrencia de E es igual a m/N .
P(E) = 𝑀 / 𝑁
- Ley de los Grandes Números: La probabilidad a priori de que salga un número en un dado es P(A)= 1/ 6 = 0,166 =16,6% . Inicialmente esa probabilidad real puede no cumplirse, pero si repetimos muchas veces el experimento, la frecuencia relativa de un suceso A, cualquiera, tiende a estabilizarse en torno al valor “a priori” .
PROBABILIDAD RELATIVA O ''A POSTERIORI''
Definición: si un suceso es repetido un gran número de veces, y si algún evento resultante, con la característica E ocurre m veces, la frecuencia relativa de la ocurrencia E, m/n, es aproximadamente igual a la probabilidad de ocurrencia de E.
P(E) = 𝒎/ 𝒏
(Si n es suficientemente grande)
Dicho de otra forma, si el número de determinaciones (repeticiones de un experimento aleatorio) es grande, podemos esperar que la probabilidad observada se acerque a la probabilidad teórica.
2.Eventos o sucesos
Cuando se realiza un experimento aleatorio, diversos resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (S)
- Se llama suceso o evento a un subconjunto de dichos resultados. Por ejemplo: las veces que sale la cara en la moneda
- Se llama evento complementario de un suceso A, al formado por los elementos que no están en A y se denota Ac. Por ejemplo: todo lo que no es salir cara en la moneda, o por ejemplo yo llamo evento al número 6 del dado, cada vez que no salga 6 en el dado, será evento complementario.
- Se llama evento unión de A y B, al formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo todos los que están en ambos) El evento A es ser mujer y el B es ser rubia: AUB sería la suma de ser mujer o la suma de ser rubia.
- Se llama evento intersección de A y B, al formado por los elementos que están entre A y B. El evento A es ser mujer y el B es ser rubia: A intersección B sería la suma de ser mujer y la suma de ser rubia, es decir, poseer las dos características
Algunas propiedades de las probabilidades son:
- Cuando dos sucesos se excluyen mutuamente, es decir, por ejemplo, sacar cara o sacar cruz, la probabilidad de que se produzca cara o cruz seria la probabilidad de AUB. En ese caso simplemente hay que calcular la suma de los dos conjuntos.
- Cuando los dos sucesos no son mutuamente excluyentes, caso de ser mujer y ser rubio, por ejemplo, la probabilidad de que se produzca A o B seria la suma de A + la suma de B, pero tengo que descontar las mujeres que poseen las dos características.
- Cuando A y B son eventos independientes, es decir, la ocurrencia de uno no influye en la ocurrencia de otro, es el producto de los dos subconjuntos.
3.Reglas básicas de la teoría de las probabilidades
- Las probabilidades oscilan entre 0 y 1.
- La probabilidad de un suceso contrario es igual a 1 menos la probabilidad del suceso. Por ejemplo: la probabilidad de ser mujer, si hay 8 personas, la probabilidad de ser hombre sería 8-4=4.
- La probabilidad de un suceso imposible es 0.
- La unión de A y B es: si los eventos son compatibles, que en la mayoría lo son, calculamos la probabilidad de A+ probabilidad de B- intersección entre dos conjuntos.
- La probabilidad condicionada de un suceso A a otro de B se expresa: P (A/B)= 𝑃(𝐴𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛𝐵) 𝑃(𝐵) si P(B) es distinto de 0. Y al contrario P(B/A) …
Cuando es una pregunta condicionada, siempre es a priori.
4.Teorema de Bayes
Expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B (probabilidad condicionada) en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
En términos más generales, el teorema de Bayes que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A.
Por ejemplo, sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza.
5.Distribución de probabilidad en variable discretas: binominal y poisson.
5.1.Distribución Binominal
La distribución binomial es un modelo matemático de distribución teórica de (la normal es con variables continuas) variables discretas.
- Cuando se producen situaciones en las que sólo existen dos posibilidades (cara/cruz)
- El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
- La probabilidad del suceso. A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de A es 1-p y la representamos por q.
- El experimento consta de un número n de pruebas
5.2.Distribución de Poisson
Poisson: médico miliar francés que estudia en el siglo XIX la probabilidad de que un soldado muera en el campo de batalla por golpes de un caballo. Para variables discretas. También se le llama la distribución de probabilidad de casos raros.
6.Distribuciones normales
Gauss descubrió en su teorema varias peculiaridades en relación a estas distribuciones. Comprobó que la media coincide con la moda que es el punto más alto y con la mediana. En todas las distribuciones si yo le sumo y le resto el valor de una desviación típica a la media de cualquier serie estadística que sigue una distribución normal, el valor de esa serie se va a encontrar en el 68,26%.
TIPIFICACIÓN DE VALORES EN UNA NORMAL:
Extrapolando aparecen los principios básicos de las distribuciones normales y podemos tipificar valores de una normal:
La tipificación de valores se puede realizar si…
- Trabajamos con variables continuas que sigue una distribución normal y tiene más de 100 unidades (Ley de los Grandes Números)
- La tipificación nos permite conocer si otro valor corresponde o no a esa distribución de frecuencia
Sabemos por la forma de la curva que:
- La media coincide con lo más alto de la campana: 8
- La desviación típica es de 2 puntos
>50% tiene puntuaciones >8 porque la media coincide con la mediana y deja un 50 por arriba y otro por abajo.
>50% tiene puntuaciones <8 -
- Aproximadamente el 68% puntúa entre 6 y 10
>Media +/- 1 desviación típica: 68,26%
>Media +/-2 desviación típica: 95% o Media +/-3 desviación típica: 99%’0
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