Ejercicios Temas 11,12,13

1)      Se recogen datos de las notas obtenidas en la asignatura de matemáticas de dos institutos, uno privado y otro público, con un total de 128 alumnos. Con la siguiente tabla:

	INSUFICIENTE	SUFICIENTE/BIEN	NOTABLE	SOBRESALIENTE
Centro privado	6	14	17	9
Instituto	30	32	17	3

–        Formula la Ho y H₁

–        Calcula el test estadístico adecuado, con una p>0.05

–        ¿Existe relación entre pertenecer a un centro u otro en la nota obtenida?

H0: No existe relación entre pertenecer a un tipo de centro con las notas académicas

H1: Los alumnos de Instituto sacan notas más bajas que los alumnos de centro privado

H2: Los alumnos de Instituto sacan notas más altas que los alumnos de centro privado.

Ambas variables son cualitativas, por lo que llevaremos a cabo el modelo de Chi cuadrado. Comenzaremos calculando las frecuencias esperadas y definir las observadas.

Frecuencias observadas	Insuficiente	Suficiente/Bien	Notable	Sobresaliente	Total
Centro Privado	6	14	17	9	46
Instituto	30	32	17	3	82
Total	36	46	34	12	128

Frecuencias esperadas	Insuficiente	Suficiente/Bien	Notable	Sobresaliente
Centro Privado	12’94	6’53	12’22	4’31
Instituto	23’06	29’47	21’78	7’69

Aplicando y sustituyendo la fórmula nos queda un resultado de: 17'266

Calculamos grado de libertad = (nºfila –  1) x (nº columnas-1) = 3

La t tabulada es menor que la t del estudio por lo que rechazamos hipótesis nula y aceptamos la alternativa. Al ser la media de notas mayor en el centro privado aceptamos la hipótesis 1: ‘’Los alumnos de Instituto sacan notas más bajas que los alumnos de centro privado’’

2)      Un grupo de investigadores se plantea una investigación para saber si, en un grupo de pacientes de una unidad médica de hospitalización, las cifras de urea plasmática tienen algún tipo de relación con los valores de la hemoglobina. Para ello, se estudiaron ambos parámetros en una muestra de 8 pacientes de esta unidad, obteniéndose los siguientes valores:

Valores de urea plasmática (mg/dl)	(xi- x‾)	(x1- x‾)2	Valores de hemoglobina en sangre (g/dl)	(yi-y‾)	(xi-x‾) · (yi-y‾)
38,0	10,3	106,5	20,5	-4,4	-45,1
33,5	5,8	33,9	41,0	16,1	93,9
43,5	15,8	250,3	11,5	-13,4	-211,5
14,0	-13,7	187,1	28,0	3,1	-42,8
24,0	-3,7	13,5	28,0	3,1	-11,5
38,0	10,3	106,5	3,5	-21,4	-220,5
24,0	-3,7	13,5	35,5	10,6	-39,1
6,5	-21,2	448,6	31,0	6,1	-129,8
x‾=27,68 mg/dl Sx = 12,87 mg/dl		Σ (x1- x‾1)2 = 1160	y‾ = 24,87 g/dl Sy = 12,45 g/dl		Σ(xi-x‾) · (yi-y‾) = -606,6

Plantear la hipótesis adecuada y realizar el modelo que mejor explique el tipo de relación existente entre ambos variables, realizando el test de hipótesis más pertinente. Dibujar el grafico, con la recta que define el modelo.

H0: Los valores de hemoglobina en sangre y los valores de urea plasmática no están relacionados.

H1: Al aumentar los valores de urea plasmática se puede provocar el incremento de los valores de hemoglobina en sangre.

H2: Al aumentar los valores de urea plasmática se puede provocar la disminución de los valores de hemoglobina en sangre.

Las variables de la investigación son:

-        Variable independiente: Valores de la urea plasmática, en mg/dl.

–        Variable dependiente: Valores de hemoglobina en sangre, en g/dl.

Procedemos a realizar el modelo de regresión lineal, ya que estamos intentando asociar dos variables cuantitativas. Debemos calcular: la nube de puntos, la pendiente, el coeficiente de correlación de Pearson y Spearman y determinar el test de hipótesis. 

Ya sabemos los siguientes datos:

Fórmula de la pendiente: Y=Bo -Bx  à Y = 39,26 – 0,52· X

B = Σ(xi-x‾) · (yi-y‾) / Σ (x₁- x‾₁)² = -606’6 /1160 =  - 0’52

Bo= y‾ - B x‾ = 24,87 - (-0,52 · 27,68) = 39,26

Al tener la fórmula de la pendiente, es decir, el plano de la recta podremos dibujarla en la nube de puntos correspondiente a nuestra tabla. Utilizaremos para  dibujar la recta dos puntos cualesquieran correspondiente a la urea (por ejemplo) y los sustituiremos en la fórmula de la recta. Así obtendremos los puntos de unión.

Tras calcular la nube de puntos y la pendiente, pasamos a calcular los coeficientes de correlación:

r= β1 · sx/sy = (-0,52) · (12,87 / 12,45) = - 0’53 à Como r <0 : relación lineal inversa.

r²= (-0,53)²= 0,29

Por último para decidir si rechazar o no la hipótesis nula realizamos el test de hipótesis:

t = | β1 | : [sy / sx · √ n-1] = 0,52 : [12,45 / 12,87 · √ 8-1] = 1,42

Para culminar la comprobación debemos saber el grado de libertad = n1 + n2 -2 = 8 +  8 -2 = 14.

El resultado en la tabla es de 1’76  à La t tabulada > t descrita por lo que Aceptamos H0: ‘’Los valores de hemoglobina en sangre y los valores de urea plasmática no están relacionados’’

3)      Un investigador pretende saber si las condiciones socioeconómicas influyen sobre la talla infantil. Para ello, ha obtenido la talla de 20 niños de 5 años de edad, de dos condiciones socioeconómicas contrastantes (alta y baja), que se exponen en la siguiente tabla. Plantea la hipótesis pertinente, realiza la elección del test oportuno y toma la decisión que proceda respecto a la hipótesis planteada.

Nivel socioeconómico bajo	Nivel socioeconómico alto	(x1- x‾1)	(x1- x‾1)2	(x2- x‾2)	(x2- x‾2)2
101	103	0.1	0.01	-2	4
102	105	11,1	1,21	0	0
100	104	-0,9	0,81	-1	1
104	106	3,1	9,61	1	1
102	108	1,1	1,21	3	9
99	100	-1,9	3,61	-5	25
102	108	1,1	1,21	3	9
103	104	2,1	4,41	-1	1
97	105	-3,9	15,21	0	0
99	107	-1,9	3,61	2	4
x‾1=100,9	x‾1=105		Σ (x1- x‾1)2 = 40,9		Σ(x2 - x‾2)2 = 54

H0: Las condiciones socioeconómicas de los niños no influyen en la talla de éstos.

H1: Los niños de nivel socioeconómico bajo tienen tallas más bajas que los niños

pertenecientes al nivel socioeconómico alto.

H2: Los niños de nivel socioeconómico bajo tienen tallas más altas que los niños

pertenecientes al nivel socioeconómico bajo.

Variables de la investigación:

-        Variable independiente: Nivel socioeconómico. Variable dicotómica, con dos posibles valores (nivel socioeconómico alto o bajo)

-        Variable dependiente: Talla del niño en centímetros. Variable cuantitativa.

Al ser una variable cualitativa dicotómica y una variable cuantitativa procedemos a realizar el test de student como modelo. Para ello debemos calcular Sp, grado de libertad y t.

sp = √ Σ (x1-x1)² + Σ(x2-x2)²/ (n1 + n2 - 2) = √ (40,9+54) / (10+10-2) =2,296

t= /x1 - x2/ : [sp · √ (1/n1 + 1/n2)] =  ( 100,9-105)  / [2,296 · √ (1/10 + 1/10)] = 3’99

gl= 10 + 10 -2 = 18

Observamos que la t tabulada es de 1’734 por lo que < que la t del estudio. Con ello rechazamos hipótesis nula y escogemos una alternativa. Al ser la media más baja los niños con nivel socioeconómico bajo, aceptamos la H1: ‘’ Los niños de nivel socioeconómico bajo tienen tallas más bajas que los niños pertenecientes al nivel socioeconómico alto.’’

4)      Predeterminar el tamaño de la muestra necesaria para estudiar los niveles de glucosa plasmática de la población de una zona básica de salud. Aceptamos un riesgo de error del 1% y pretendemos una precisión de 5 mg. En una muestra reducida, la desviación típica es de 15.

Utilizamos el proceso de cálculo de tamaño muestral mínimo para estimar una media, cuya fórmula es: N= (Z²· S²) / e²  = 2,582 ·152 /52 =59,9

El tamaño muestral necesario es de 60 participantes.