1) Se recogen datos de las notas
obtenidas en la asignatura de matemáticas de dos institutos, uno privado y otro
público, con un total de 128 alumnos. Con la siguiente tabla:
|
INSUFICIENTE
|
SUFICIENTE/BIEN
|
NOTABLE
|
SOBRESALIENTE
|
Centro privado
|
6
|
14
|
17
|
9
|
Instituto
|
30
|
32
|
17
|
3
|
–
Formula la Ho y H1
–
Calcula el test estadístico adecuado, con una p>0.05
–
¿Existe relación entre pertenecer a un centro u otro en la nota
obtenida?
H0: No
existe relación entre pertenecer a un tipo de centro con las notas académicas
H1: Los
alumnos de Instituto sacan notas más bajas que los alumnos de centro privado
H2: Los
alumnos de Instituto sacan notas más altas que los alumnos de centro privado.
Ambas
variables son cualitativas, por lo que llevaremos a cabo el modelo de Chi
cuadrado. Comenzaremos calculando las frecuencias esperadas y definir las
observadas.
Frecuencias observadas
|
Insuficiente
|
Suficiente/Bien
|
Notable
|
Sobresaliente
|
Total
|
Centro Privado
|
6
|
14
|
17
|
9
|
46
|
Instituto
|
30
|
32
|
17
|
3
|
82
|
Total
|
36
|
46
|
34
|
12
|
128
|
Frecuencias esperadas
|
Insuficiente
|
Suficiente/Bien
|
Notable
|
Sobresaliente
|
Centro Privado
|
12’94
|
6’53
|
12’22
|
4’31
|
Instituto
|
23’06
|
29’47
|
21’78
|
7’69
|
Aplicando
y sustituyendo la fórmula nos queda un resultado de: 17'266
Calculamos
grado de libertad = (nºfila – 1) x (nº
columnas-1) = 3
La t
tabulada es menor que la t del estudio por lo que rechazamos hipótesis nula y
aceptamos la alternativa. Al ser la media de notas mayor en el centro privado
aceptamos la hipótesis 1: ‘’Los alumnos de Instituto sacan notas más bajas que
los alumnos de centro privado’’
2) Un grupo de investigadores se
plantea una investigación para saber si, en un grupo de pacientes de una unidad
médica de hospitalización, las cifras de urea plasmática tienen algún tipo de
relación con los valores de la hemoglobina. Para ello, se estudiaron ambos
parámetros en una muestra de 8 pacientes de esta unidad, obteniéndose los
siguientes valores:
Valores de urea
plasmática (mg/dl)
|
(xi- x‾)
|
(x1- x‾)2
|
Valores de
hemoglobina en
sangre (g/dl)
|
(yi-y‾)
|
(xi-x‾) · (yi-y‾)
|
38,0
|
10,3
|
106,5
|
20,5
|
-4,4
|
-45,1
|
33,5
|
5,8
|
33,9
|
41,0
|
16,1
|
93,9
|
43,5
|
15,8
|
250,3
|
11,5
|
-13,4
|
-211,5
|
14,0
|
-13,7
|
187,1
|
28,0
|
3,1
|
-42,8
|
24,0
|
-3,7
|
13,5
|
28,0
|
3,1
|
-11,5
|
38,0
|
10,3
|
106,5
|
3,5
|
-21,4
|
-220,5
|
24,0
|
-3,7
|
13,5
|
35,5
|
10,6
|
-39,1
|
6,5
|
-21,2
|
448,6
|
31,0
|
6,1
|
-129,8
|
x‾=27,68 mg/dl
Sx = 12,87 mg/dl
|
|
Σ (x1- x‾1)2 = 1160
|
y‾ = 24,87 g/dl
Sy = 12,45 g/dl
|
|
Σ(xi-x‾) · (yi-y‾) = -606,6
|
Plantear la hipótesis adecuada y
realizar el modelo que mejor explique el tipo de relación existente entre ambos
variables, realizando el test de hipótesis más pertinente. Dibujar el grafico,
con la recta que define el modelo.
H0: Los valores de hemoglobina en sangre y
los valores de urea plasmática no están relacionados.
H1: Al aumentar los valores de urea plasmática se puede provocar el incremento de los valores de
hemoglobina en sangre.
H2: Al aumentar los valores de urea plasmática
se puede provocar la disminución de los valores de hemoglobina en sangre.
Las variables de la investigación son:
-
Variable independiente: Valores de la urea plasmática, en mg/dl.
–
Variable dependiente: Valores de hemoglobina en sangre, en g/dl.
Procedemos a realizar el modelo de regresión
lineal, ya que estamos intentando asociar dos variables cuantitativas. Debemos
calcular: la nube de puntos, la pendiente, el coeficiente de correlación de
Pearson y Spearman y determinar el test de hipótesis.
Ya sabemos los siguientes datos:
Fórmula de la pendiente: Y=Bo -Bx
à
Y = 39,26 – 0,52· X
B = Σ(xi-x‾) · (yi-y‾) / Σ (x1-
x‾1)2 = -606’6 /1160 = - 0’52
Bo= y‾ - B x‾ = 24,87 - (-0,52 ·
27,68) = 39,26
Al tener la fórmula de la pendiente, es decir,
el plano de la recta podremos dibujarla en la nube de puntos correspondiente a
nuestra tabla. Utilizaremos para dibujar
la recta dos puntos cualesquieran correspondiente a la urea (por ejemplo) y los
sustituiremos en la fórmula de la recta. Así obtendremos los puntos de unión.
Tras calcular
la nube de puntos y la pendiente, pasamos a calcular los coeficientes de
correlación:
r= β1 · sx/sy = (-0,52) · (12,87 / 12,45) = - 0’53 à Como r <0 : relación lineal inversa.
r2=
(-0,53)2= 0,29
Por
último para decidir si rechazar o no la hipótesis nula realizamos el test de
hipótesis:
t = | β1 | : [sy / sx · √ n-1] = 0,52 : [12,45 / 12,87 · √ 8-1]
= 1,42
Para
culminar la comprobación debemos saber el grado de libertad = n1 + n2 -2 = 8
+ 8 -2 = 14.
El resultado
en la tabla es de 1’76 à La t tabulada > t descrita por lo que
Aceptamos H0: ‘’Los valores de hemoglobina en sangre y los valores de urea plasmática
no están relacionados’’
3)
Un investigador pretende saber si las condiciones socioeconómicas
influyen sobre la talla infantil. Para ello, ha obtenido la talla de 20 niños
de 5 años de edad, de dos condiciones socioeconómicas contrastantes (alta y
baja), que se exponen en la siguiente tabla. Plantea la hipótesis pertinente,
realiza la elección del test oportuno y toma la decisión que proceda respecto a
la hipótesis planteada.
Nivel socioeconómico bajo
|
Nivel socioeconómico alto
|
(x1- x‾1)
|
(x1- x‾1)2
|
(x2- x‾2)
|
(x2- x‾2)2
|
101
|
103
|
0.1
|
0.01
|
-2
|
4
|
102
|
105
|
11,1
|
1,21
|
0
|
0
|
100
|
104
|
-0,9
|
0,81
|
-1
|
1
|
104
|
106
|
3,1
|
9,61
|
1
|
1
|
102
|
108
|
1,1
|
1,21
|
3
|
9
|
99
|
100
|
-1,9
|
3,61
|
-5
|
25
|
102
|
108
|
1,1
|
1,21
|
3
|
9
|
103
|
104
|
2,1
|
4,41
|
-1
|
1
|
97
|
105
|
-3,9
|
15,21
|
0
|
0
|
99
|
107
|
-1,9
|
3,61
|
2
|
4
|
x‾1=100,9
|
x‾1=105
|
|
Σ (x1- x‾1)2 = 40,9
|
|
Σ(x2 - x‾2)2 = 54
|
H0: Las
condiciones socioeconómicas de los niños no influyen en la talla de éstos.
H1: Los
niños de nivel socioeconómico bajo tienen tallas más bajas que los niños
pertenecientes
al nivel socioeconómico alto.
H2: Los
niños de nivel socioeconómico bajo tienen tallas más altas que los niños
pertenecientes
al nivel socioeconómico bajo.
Variables
de la investigación:
-
Variable independiente: Nivel socioeconómico. Variable dicotómica, con
dos posibles valores (nivel socioeconómico alto o bajo)
-
Variable dependiente: Talla del niño en centímetros. Variable
cuantitativa.
Al ser una
variable cualitativa dicotómica y una variable cuantitativa procedemos a
realizar el test de student como modelo. Para ello debemos calcular Sp, grado
de libertad y t.
sp = √
Σ (x1-x1)2 + Σ(x2-x2)2/ (n1 + n2 - 2) = √ (40,9+54) /
(10+10-2) =2,296
t= /x1
- x2/ : [sp · √ (1/n1 + 1/n2)] = (
100,9-105) / [2,296 · √ (1/10 + 1/10)] =
3’99
gl= 10
+ 10 -2 = 18
Observamos
que la t tabulada es de 1’734 por lo que < que la t del estudio. Con ello
rechazamos hipótesis nula y escogemos una alternativa. Al ser la media más baja
los niños con nivel socioeconómico bajo, aceptamos la H1: ‘’ Los niños de nivel
socioeconómico bajo tienen tallas más bajas que los niños pertenecientes al
nivel socioeconómico alto.’’
4) Predeterminar el tamaño de la
muestra necesaria para estudiar los niveles de glucosa plasmática de la población
de una zona básica de salud. Aceptamos un riesgo de error del 1% y pretendemos
una precisión de 5 mg. En una muestra reducida, la desviación típica es de 15.
Utilizamos
el proceso de cálculo de tamaño muestral mínimo para estimar una media, cuya
fórmula es: N= (Z2·
S2) / e2 = 2,582 ·152
/52 =59,9
El
tamaño muestral necesario es de 60 participantes.
